Je n'aurais pas utilisé le terme "politique de l'Église" pour expliquer le refus du sacrement de l'onction des malades à votre fils, mais la réponse que vous avez reçue semble fondamentalement exacte.
Le canon 1004 stipule que l'onction peut être administrée à ceux qui ont "atteint l'usage de la raison". Le droit de l'Église présume que l'usage de la raison s'installe à l'âge de sept ans (canon 97), bien qu'il soit possible que, dans un cas spécifique, un enfant donné atteigne l'usage de la raison avant d'avoir atteint l'âge de sept ans. Néanmoins, affirmer qu'un enfant a l'usage de la raison à l'âge de trois ans serait, je pense, pratiquement impossible à prouver.
Le canon 1004 stipule également qu'il faut "commencer à être en danger de mort" pour recevoir le sacrement de manière licite. Il est tout à fait possible que l'état de votre fils, même s'il était dangereux, n'englobait pas le danger de mort et que, pour cette raison, le sacrement n'ait pas été célébré. Le canon n'exige pas que l'on soit à l'article de la mort avant de demander l'onction, mais la mort (par opposition à toute autre condition chronique mais survivable) doit être une possibilité réelle avant d'administrer le sacrement.
Votre instinct en recherchant le soutien spirituel et sacramentel de l'Église au nom d'un enfant frappé a été correct. En veillant au baptême de votre fils, vous avez déjà accordé à votre tout-petit la grâce de ce sacrement salvateur et, en vous tournant vers le Seigneur dans la prière pendant cette crise, vous avez déjà invoqué des grâces supplémentaires en sa faveur et en la vôtre. De plus, si votre enfant avait été un peu plus âgé, je suis sûr que vous vous seriez renseigné pour lui sur la confession (canon 989) et l'Eucharistie (canon 913).
Enfin, vous n'avez pas posé de question à ce sujet, mais je mentionnerais une autre possibilité. Si votre enfant était en danger de mort, et malgré son inéligibilité au sacrement de l'onction en raison de son âge, il était très probablement éligible pour recevoir le sacrement de la confirmation (canons 889 et 891). Je sais que cela surprend de nombreux parents catholiques (et pas mal de membres du clergé !), mais le Code de droit canonique de 1983 est tout à fait clair sur le fait que la confirmation est appropriée dans les circonstances que vous décrivez.