Non, les laïcs ne peuvent pas proclamer les paroles de Jésus dans ces lieux liturgiques. La Conférence des évêques catholiques des États-Unis aborde cette question sur son site web :

Un lecteur laïc peut-il prendre le rôle du Christ dans la lecture du récit de la Passion pendant le Carême et le Triduum, ou ce rôle est-il réservé au prêtre ?

Les rubriques du dimanche des Rameaux et du Vendredi saint sont très claires sur cette question, comme le montre la lettre circulaire de 1988 concernant la préparation et la célébration des fêtes de Pâques [Paschale Solemnitatis] de la Congrégation pour le culte divin et la discipline des sacrements :

Le récit de la Passion occupe une place particulière. Il doit être chanté ou lu de manière traditionnelle, c'est-à-dire par trois personnes qui prennent le rôle du Christ, du narrateur et du peuple. La Passion est proclamée par des diacres ou des prêtres, ou par des lecteurs laïcs ; dans ce dernier cas, la partie du Christ doit être réservée au prêtre (n° 33).

Pour en savoir plus sur Paschale Solemnitatis, cliquez ici. Pour plus d'informations sur la célébration par l'Église du Triduum pascal, qui commence par la messe du soir de la Cène du Seigneur le Jeudi saint, voir cette présentation de l'USCCB.